Загрузка

Методы интегрирования

Вычислите $$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi}sin^4xdx$$:

  1. Формулы понижения степени:
    $$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x);$$

    $$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x).$$

  2. $$\int coskxdx=\frac{1}{k}sinkx+C.$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$f(x)=sin^4x=(sin^2x)^2$$,

$$f(x)=\left (\frac{1}{2} \right )^2(1-cos2x)^2$$,

$$f(x)=\frac{1}{4}(1-2cos2x+cos^22x)$$,

$$f(x)=\frac{1}{4}(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x)$$,

$$f(x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x.$$

Найдем сумму интегралов:

$$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{3dx}{8}-\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{cos2xdx}{2}+\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{cos4xdx}{8}$$,
$$I=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}$$,
$$I=\frac{3\pi }{32}-\frac{1}{4}+0+\frac{3\pi }{16}-0+0=\frac{9\pi -8}{32}.$$

$$sin 0=0,$$ $$sin \pi =0,$$ $$sin \frac{\pi }{2}=1.$$

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{-1}^{14}\frac{dx}{\sqrt[4]{(x+2)^3}}$$:

1. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

2. Табличный интеграл:

$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$

3. Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

$$I=\int_{-1}^{14}\frac{dx}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}$$,

$$I=\int_{-1}^{14} (x+2)^{-\frac{3}{4}}d(x+2)$$,

$$I=4(x+2)^{\frac{1}{4}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{14}=$$$$4(2-1)=4.$$

$$\int (kx+b)^n dx=\frac{1}{k} \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$.

Выберите один из вариантов

Значение интеграла $$\int_{-1}^{1}\frac{x-5}{x^{2}+5x}dx$$ равно:

1. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

2. Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x}= ln|x|+C$$.

3. Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}=\frac{Ax+5A+Bx}{x(x+5)}$$,
откуда $$(A+B)x+5A=x-5$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных,  получим:
$$\left\{\begin{matrix} A+B=1, \\ 5A=-5; \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} B=2, \\ A=-1. \end{matrix}\right.$$
Найдем сумму интегралов:
$$I=-\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}+\int_{-1}^{1}\frac{2d(x+5)}{x+5}$$,
$$I=(-ln|x|+2ln|x+5|) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$,
$$I=ln\frac{|x+5|^{2}}{|x|} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$,
$$I=ln36-ln16=2ln1,5$$.

Свойства логарифмов:

$$nlog_{a}b=log_{a}b^{n}$$;

$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\frac{b}{c}$$;

$$log_{a}1=0$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{\pi }sin2x sin 5xdx$$:

$$sin \alpha $$$$\cdot sin\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )),$$

$$\int cos kxdx= \frac{1}{k}sinkx+C,$$

$$\int sin kxdx= -\frac{1}{k}coskx+C.$$

$$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }(cos3x-cos7x)dx$$,
$$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi } cos3xdx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi } cos7xdx $$,
$$I=\frac{1}{6}sin3x-\frac{1}{14}sin7x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\pi}=0.$$

$$sin n \pi=0,$$ где $$n\in Z$$.

Выберите один из вариантов

Значение интеграла $$\int_{-4}^{4}\frac{5xdx}{\sqrt{5+x}}$$ равно:

1. Табличный интеграл:

$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$

2. Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Полагая $$\sqrt{5+x}=t$$, получим:

$$5+x=t^{2}$$,

$$x=t^{2}-5$$,

$$dx=2tdt$$.

Найдем пределы интегрирования:

1) если $$x=-4$$, то $$t=\sqrt{5-4}=1$$;

2) если $$x=4$$, то $$t=\sqrt{5+4}=3$$.

Найдем интеграл:

$$I=\int_{1}^{3}\frac{5(t^{2}-5) \cdot 2tdt}{t}$$,

$$I=10\int_{1}^{3}(t^{2}-5)dt$$,

$$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3}$$,

$$I=10(9-15-\frac{1}{3}+5)=-\frac{40}{3}$$.

Интеграл можно найти иначе,  не изменяя пределы интегрирования:

$$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}$$,

$$I=10(\frac{\sqrt{(5+x)^{3}}}{3}-5\sqrt{5+x})\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-4}^{4}$$,

$$I=10(9-15-\frac{1}{3}+5)=-\frac{40}{3}$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{0,125}8xe^{8x}dx$$:

1. Формула интегрирования по частям:

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

2. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Полагая $$x=u,$$ а $$e^{8x}dx=dv,$$ получим:

  1. $$dx=du;$$
  2. $$\int e^{8x}dx=\int dv,$$ $$\frac{1}{8}e^{8x}=v.$$
Применим формулу интегрирования по частям:
$$I=xe^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}-\int_{0}^{0,125}e^{8x} dx$$,
$$I=xe^{8x}-\frac{1}{8}e^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}$$,
$$I=0,125e-0,125e-0+0,125= 0,125.$$

$$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{1}x^4e ^{x^{5}}dx$$:

1. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

2. Формула Ньютона-Лейбница:

 $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

$$I=\int_{0}^{1}\frac{x^{4}e^{x^{5}}dx^5}{\left (x^5 \right ){}'}$$,
$$I=\int_{0}^{1}\frac{x^{4}e^{x^{5}}dx^5}{5x^4}$$,
$$I=\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{x^{5}}dx^5$$,
$$I=\frac{1}{5} e^{x^{5}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{5} e-\frac{1}{5}.$$

$$\int e^x dx=e^x+C,$$
$$e^0=1.$$

Выберите один из вариантов

Значение интеграла $$\int_{0,5}^{32}\frac{dx}{4x-\sqrt[6]{2x}}$$ равно:

1. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

2. Табличный интеграл:

$$\int \frac{ dx}{x}=ln|x|+C.$$

3. Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Полагая $$\sqrt[6]{2x}=t$$, получим:
$$4x=2t^{6}$$, $$dx=3t^{5}dt$$.
Найдем пределы интегрирования:
1) если $$x=0,5$$, то $$t=\sqrt[6]{1}=1$$;
2) если $$x=32$$, то $$t=\sqrt[6]{64}=2$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{5}dt}{2t^{6}-t}$$,
$$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{4}dt}{2t^{5}-1}$$,
$$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{4}d(2t^{5}-1)}{(2t^{5}-1) \cdot 10t^{4}}$$,
$$I=0,3 \int_{1}^{2}\frac{d(2t^{5}-1)}{2t^{5}-1}$$,
$$I=0,3ln|2t^{5}-1| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}$$,
$$I=0,3(ln63-ln1)=0,3ln63$$.

Интеграл можно найти иначе, не изменяя пределы интегрирования:

$$I=0,3ln|2t^{5}-1| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t1}^{t2}$$,

$$I=0,3ln|2^{6}\sqrt{(2x)^{5}}-1|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0,5}^{32}$$,

$$I=0,3ln|2\cdot32-1|-0,3ln|2\cdot-1|$$,

$$I=0,3ln63-0,3ln1=0,3ln63$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{2}^{6}\frac{dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$:

1. Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$,

$$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}{(x+2)-(x-2)}$$,

$$f(x)= \frac{1}{4} \left (\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right ).$$
Найдем сумму интегралов, изменив форму дифференциалов:
$$I=\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x+2)^{\frac{1}{2}}d(x+2)-\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x-2)^{\frac{1}{2}}d(x-2)$$,

$$I=\frac{1}{6} \left ((x+2)^{\frac{3}{2}}-(x-2)^{\frac{3}{2}} \right )\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{6} $$,
$$I=\frac{1}{6}\left ( 8^{1,5}+4^{1,5}-4^{1,5}-0 \right )=\frac{8\sqrt{2}-8}{3}.$$

$$\int_{a}^{b} (kx+b) dx=\frac{1}{k} F (kx+b)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}$$

Выберите один из вариантов

Значение интеграла $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{2cosx}$$ равно:

1. Формулы тригонометрии:

$$cos^{2}x=0,5(1+cos2x)$$,

$$sinx=\frac{2tg0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$,

$$cosx=\frac{1-tg^{2}0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$.

2. Табличный интеграл:

$$\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{x-1}{x+1}|+C$$.

3.Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Положим $$tg\frac{x}{2}=t$$, $$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.

Дифференцируя равенство $$tg\frac{x}{2}=t$$, получим:

$$\frac{dx}{2cos^{2}0,5x}=dt$$,

$$dx=(1+cosx)dt$$,

$$dx=(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})dt$$,

$$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$.

Найдем пределы интегрирования:

1) если $$x=0$$, то $$t=tg0=0$$;

2) если $$x=\frac{\pi}{3}$$, то $$t=tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$.

Найдем интеграл:

$$I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{2dt(1+t^{2})}{2(1+t^{2})(1-t^{2})}$$,

$$I=-\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t^{2}-1}$$,

$$I=-\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$,

$$I=-\frac{1}{2}ln\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$.

Преобразование ответа:

$$I=-\frac{1}{2}ln| \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}|+\frac{1}{2}ln1$$,

$$I=-\frac{1}{2}ln \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$,

$$I=\frac{1}{2}ln |\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$.


Выберите один из вариантов