Формула Ньютона-Лейбница ИТ
Значение интеграла $$\int_{-4}^{4}\frac{5xdx}{\sqrt{5+x}}$$ равно:
1. Табличный интеграл:
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$
2. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Полагая $$\sqrt{5+x}=t$$, получим:
$$5+x=t^{2}$$,
$$x=t^{2}-5$$,
$$dx=2tdt$$.
Найдем пределы интегрирования:
1) если $$x=-4$$, то $$t=\sqrt{5-4}=1$$;
2) если $$x=4$$, то $$t=\sqrt{5+4}=3$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int_{1}^{3}\frac{5(t^{2}-5) \cdot 2tdt}{t}$$,
$$I=10\int_{1}^{3}(t^{2}-5)dt$$,
$$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3}$$,
$$I=10(9-15-\frac{1}{3}+5)=-\frac{40}{3}$$.
Интеграл можно найти иначе, не изменяя пределы интегрирования:
$$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}$$,
$$I=10(\frac{\sqrt{(5+x)^{3}}}{3}-5\sqrt{5+x})\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-4}^{4}$$,
$$I=10(9-15-\frac{1}{3}+5)=-\frac{40}{3}$$.
Значение интеграла $$\int_{-1}^{1}\frac{x-5}{x^{2}+5x}dx$$ равно:
1. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x}= ln|x|+C$$.
3. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Свойства логарифмов:
$$nlog_{a}b=log_{a}b^{n}$$;
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\frac{b}{c}$$;
$$log_{a}1=0$$.
Вычислите $$\int_{0}^{1}x^4e ^{x^{5}}dx$$:
1. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
$$\int e^x dx=e^x+C,$$
$$e^0=1.$$
Значение интеграла $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{2cosx}$$ равно:
1. Формулы тригонометрии:
$$cos^{2}x=0,5(1+cos2x)$$,
$$sinx=\frac{2tg0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$,
$$cosx=\frac{1-tg^{2}0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{x-1}{x+1}|+C$$.
3.Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Положим $$tg\frac{x}{2}=t$$, $$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.
Дифференцируя равенство $$tg\frac{x}{2}=t$$, получим:
$$\frac{dx}{2cos^{2}0,5x}=dt$$,
$$dx=(1+cosx)dt$$,
$$dx=(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})dt$$,
$$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$.
Найдем пределы интегрирования:
1) если $$x=0$$, то $$t=tg0=0$$;
2) если $$x=\frac{\pi}{3}$$, то $$t=tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{2dt(1+t^{2})}{2(1+t^{2})(1-t^{2})}$$,
$$I=-\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t^{2}-1}$$,
$$I=-\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$,
$$I=-\frac{1}{2}ln\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$.
Преобразование ответа:
$$I=-\frac{1}{2}ln| \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}|+\frac{1}{2}ln1$$,
$$I=-\frac{1}{2}ln \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$,
$$I=\frac{1}{2}ln |\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$.
Вычислите $$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi}sin^4xdx$$:
- Формулы понижения степени:
$$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x);$$$$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x).$$
- $$\int coskxdx=\frac{1}{k}sinkx+C.$$
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=sin^4x=(sin^2x)^2$$,
$$f(x)=\left (\frac{1}{2} \right )^2(1-cos2x)^2$$,
$$f(x)=\frac{1}{4}(1-2cos2x+cos^22x)$$,
$$f(x)=\frac{1}{4}(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x)$$,
$$f(x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x.$$
Найдем сумму интегралов:
$$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{3dx}{8}-\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{cos2xdx}{2}+\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{cos4xdx}{8}$$,$$I=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}$$,
$$I=\frac{3\pi }{32}-\frac{1}{4}+0+\frac{3\pi }{16}-0+0=\frac{9\pi -8}{32}$$.
$$sin 0=0,$$ $$sin \pi =0,$$ $$sin \frac{\pi }{2}=1.$$
Вычислите $$\int_{-1}^{14}\frac{dx}{\sqrt[4]{(x+2)^3}}$$:
1. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Табличный интеграл:
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$
3. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
$$I=\int_{-1}^{14}\frac{dx}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}$$,
$$I=\int_{-1}^{14} (x+2)^{-\frac{3}{4}}d(x+2)$$,
$$I=4(x+2)^{\frac{1}{4}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{14}=4(2-1)=4$$.
$$\int (kx+b)^n dx=\frac{1}{k} \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$.
Вычислите $$\int_{0}^{0,125}8xe^{8x}dx$$:
1. Формула интегрирования по частям:
$$\int udv=uv-\int vdu.$$
2. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
Полагая $$x=u,$$ а $$e^{8x}dx=dv,$$ получим:
- $$dx=du;$$
- $$\int e^{8x}dx=\int dv,$$ $$\frac{1}{8}e^{8x}=v.$$
$$I=xe^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}-\int_{0}^{0,125}e^{8x} dx$$,
$$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$$.
Вычислите $$\int_{2}^{6}\frac{dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$:
1. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$,
$$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}{(x+2)-(x-2)}$$,
$$f(x)= \frac{1}{4} \left (\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right ).$$
Найдем сумму интегралов, изменив форму дифференциалов:
$$I=\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x+2)^{\frac{1}{2}}d(x+2)-\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x-2)^{\frac{1}{2}}d(x-2)$$,
$$I=\frac{1}{6} \left ((x+2)^{\frac{3}{2}}-(x-2)^{\frac{3}{2}} \right )\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{6} $$,
$$I=\frac{1}{6}\left ( 8^{1,5}+4^{1,5}-4^{1,5}-0 \right )=\frac{8\sqrt{2}}{3}$$.
$$\int_{a}^{b} (kx+b) dx=\frac{1}{k} F (kx+b)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}$$
Значение интеграла $$\int_{0,5}^{32}\frac{dx}{4x-\sqrt[6]{2x}}$$ равно:
1. Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{ dx}{x}=ln|x|+C.$$
3. Формула Ньютона-Лейбница:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Интеграл можно найти иначе, не изменяя пределы интегрирования:
$$I=0,3ln|2t^{5}-1| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t1}^{t2}$$,
$$I=0,3ln|2^{6}\sqrt{(2x)^{5}}-1|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0,5}^{32}$$,
$$I=0,3ln|2\cdot32-1|-0,3ln|2\cdot-1|$$,
$$I=0,3ln63-0,3ln1=0,3ln63$$.
Вычислите $$\int_{0}^{\pi }sin2x sin 5xdx$$:
$$sin \alpha $$$$\cdot sin\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )),$$
$$\int cos kxdx= \frac{1}{k}sinkx+C,$$
$$\int sin kxdx= -\frac{1}{k}coskx+C.$$
$$sin n \pi=0,$$ где $$n\in Z$$.