Объем тела, образованного вращением вокруг оси $$Ox$$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $$y=f(x)$$, отрезками прямых $$y=0$$, $$x=a$$ и $$x=b$$, находят по формуле:

$$V=\pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$$.

Функция $$y=2\sqrt{x}$$ неотрицательна на всей ее области определения.

Если функция Кобба-Дугласа имеет вид $$g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}$$, то объем продукции, выпущенной производителем за $$t$$ лет, находят по формуле:

$$V=\int_{0}^{t}(\alpha t+\beta )e^{yt}dt$$.

Вычислим интеграл $$V=\int_{0}^{4}(t+5 )e^{2t}dt$$, применяя формулу интегрирования по частям.

1. Положим $$t+5=u$$, а $$e^{2t}dt=dv$$.
   Тогда: $$dt=du$$, $$\int e^{2t}dt=\int vdv$$, откуда $$\frac{1}{2}e^{2t}=v$$. 
2. Получим:
   $$V=\int_{0}^{4}(t+5)e^{2t}dt$$, 
   $$V=\frac{t+5}{2}e^{2t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{4}$$$$-\int_{0}^{4}\frac{e^{2t}}{2}dt$$,
   $$V= \frac{1}{2}(t+5)e^{2t}$$$$-\frac{1}{4}e^{2t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right| _{0}^{4}$$,
   $$V=4,25e^8-2,25$$.

Если функция $$f(t)$$ показывает поступление дохода за время $$t$$, а $$i=\frac{p}{100}$$ – удельная норма непрерывно начисляемого процента, то дисконтированный доход $$K$$ за время $$T$$ равен:

$$K=\int_{0}^{T} f(t)e^{it}dt$$.

Так как капиталовложения задаются формулой $$f(t)=100+t$$, то
$$K=\int_{0}^{2} (100+t)e^{-0,5t}dt$$.
Применим формулу интегрирования по частям.

1. Положим $$100+t=u,$$ а $$e^{-0,4t}dt=dv$$.
   Тогда: $$dt=du$$, $$-2\int$$$$e^{-0,5t}d(-0,5t)=\int vdv$$, откуда $$-2e^{-0,5t}=v$$. 
2. Получим:
   $$K=-2 (100+t)e^{-0,5t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} +2 \int_{0}^{2}e^{-0,5t}dt$$,
   $$K=-2 (100+t)e^{-0,5t}-4e ^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$,
   $$K=-(204+2t)e^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$,
   $$K=204-208e^{-1}$$ (тыс. ден. ед.).

Если функция $$t(x)$$ выражает время, затраченное на изготовление продукции, то среднее время, затраченное на изготовление единицы продукции в период освоения изделий от $$x_{1}$$ до $$x_{2}$$, находят по формуле:

$$t_{cp.}=\frac{1}{x_{2}-x_{1}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} t(x)dx$$.

Так как $$x_1=4$$, а $$x_2=25$$, то:

$$t_{cp.}=\frac{1}{25-4} \int_{4}^{25}21x^{-1,5}dx$$,
$$t_{cp.}=-2x^{-0,5}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{4}^{25}$$,
$$t_{cp.}=-\frac{2}{5}+1=0,6$$ (ч).

Функция затрат времени на изготовление продукции часто представляется в виде:

$$t(x)=Ax^{-B}$$,
где $$A$$ – затраты времени на первое изделие, $$B$$ – показатель производственного процесса.

Если производительность труда в момент времени $$t$$ задается функцией $$y=f(t)$$, то объем продукции, выпущенной производителем за промежуток времени $$\left [0;T \right]$$, находят по формуле:

$$V= \int_{0}^{T} f(t)dt$$.

Сравните: объем продукции, произведенной рабочим за $$4$$ часа работы, равен:

$$V=\int_{0}^{4}\left (\frac{12}{t^2}+5 \right )dt$$,
$$V=-\frac{12}{t}+5t| _{0}^{4}$$,
$$V=-3+20+0-0=17$$.

Длину дуги кривой $$y=f(x)$$, где $$a\leq x\leq b$$, находят по формуле:

$$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f{}'(x))^2}dx$$.

Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси $$Oy$$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $$x=f(y)$$, отрезками прямых $$y=c$$ и $$y=d$$, находят по формуле:

$$V=\pi \int_{c}^{d} f^2(y)dy$$.

1. Находим абсциссы $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ точек пересечения графиков функций $$y=f_{1}(x)$$ и $$y=f_{2}(x)$$, решая уравнение $$f_{1}(x)=f_{2}(x)$$.
2. Записываем пределы интегрирования: $$a=x_{1}$$, $$b=x_{2}$$.
3. Составляем подынтегральную функцию: $$f(x)= f_{1}(x)-f_{2}(x)$$.
4. Вычисляем интеграл: $$\int_{a}^{b} f(x)dx=A$$. 
5. Находим площадь фигуры: $$S=\left |A \right |$$.
                                                        

Площадь криволинейной трапеции (Рис. 1), ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $$x=f(y)$$, отрезками прямых $$y=c$$, $$y=d$$ и осью $$Oy$$, находят по формуле:

$$S=\int_{c}^{d} f(y)dy$$.
                                                                      

Если $$q$$ – объем выпуска продукции, а $$MC=C{}'(q)$$ – функция предельных издержек (издержки на производство дополнительной единицы продукции), то функцию издержек $$C(q)$$ находят по формуле:

$$C(q)=\int MC dq=F(q)+C_{0}$$,

где $$C_{0}=C(1)$$ – издержки при производстве первой единицы продукции.