Комбинаторика и вероятность ИТ
На карточках записаны цифры: $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$.
Наудачу берут $$5$$ карточек. Вероятность того, что все цифры на карточках окажутся четными, равна:
Урновая схема. Из урны, содержащей $$N$$ шаров, среди которых $$M$$ белых, а остальные черные, выбирают $$n$$ шаров. Вероятность того, что в выборке окажется $$m$$ белых шаров (событие $$A$$) можно найти по формуле:
$$P(A)=\frac{C_{M}^{m} \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}$$.
Сочетаниями называются множества, содержащие $$m$$ элементов из $$n$$ заданных, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Количество различных слов от перестановок букв в слове ЗАДАЧА равно:
В слове ЗАДАЧА $$6$$ букв, но так как буква А повторяется $$3$$ раза, то применим формулу перестановок с повторениями:
$$P_{6}(3,1,1,1)=\frac{6!}{3!}$$,
$$P_{6}=\frac{3!\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{3!}=120$$.
Так как $$n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ...\cdot (n-1) \cdot n$$, то
$$n!=(n-1)!\cdot n$$.
Рабочим было изготовлено $$10$$ деталей, среди которых оказалось две нестандартные. Наудачу взяли $$3$$ детали. Вероятность того, что среди них окажется одна нестандартная деталь, равна:
Урновая схема. Из урны, содержащей $$N$$ шаров, среди которых $$M$$ белых, а остальные черные, выбирают $$n$$ шаров. Вероятность того, что в выборке окажется m белых шаров (событие $$A$$) можно найти по формуле:
$$P(A)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$.
Число сочетаний из $$n$$ различных элементов по $$m$$ находят по формуле:
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$.
Применим урновую схему:
Запишем: $$P(A)=\frac{C_8^2\cdot C_2^1}{C_{10}^3}$$.
Найдем сочетания:
1) $$C_8^2=\frac{8!}{2!(8-2)!}$$, $$C_8^2=\frac{6!\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 6!}=28$$;
2) $$C_2^1=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$;
3) $$C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!}$$, $$C_{10}^3=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{3!\cdot 7!}=120$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{28\cdot 2}{120}=\frac{7}{15}$$.
$$C_n^n=1$$ и $$C_n^0=1$$.
В урне находится $$4$$ синих, $$5$$ белых и $$11$$ красных шаров. Вероятность того, что наудачу извлеченный шар оказался не белым (событие $$A$$), равна:
Число всевозможных исходов (количество шаров в урне):
$$n=4+5+11=20$$.
Число благоприятных исходов (количество синих и красных шаров):
$$m=4+11=15$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{15}{20}=0,75$$.
Задачу можно решить иначе.
Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался синим:
$$P(A_{c.})=\frac{4}{20}$$.
Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался красным:
$$P(A_{к.})=\frac{11}{20}$$.
Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался или синим, или красным:
$$P(A)=\frac{4}{20}+\frac{11}{20}=0,75$$.
Подбрасывают игральный кубик. Вероятность того, что на верхней грани получим число не меньше, чем $$5$$ (событие $$A$$), равно:
Правило суммы. Если элемент $$a$$ может быть выбран из множества элементов $$m_{1}$$ способами, а элемент $$b$$ может быть выбран $$m_{2}$$ способами, то выбрать либо $$a$$, либо $$b$$ можно $$m_{1}+m_{2}$$ способами.
Количество двузначных чисел, составленных из цифр $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, равно:
Число размещений из $$n$$ различных элементов по $$m$$ обозначают $$A_{n}^{m}$$ и находят по формуле:
$$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$$.
Так как при составлении чисел важен порядок следования цифр, то найдем число размещений по два элемента из шести:
$$A_{6}^{2}=\frac{6!}{(6-2)!}$$,
$$A_{6}^{2}=\frac{4!\cdot 5 \cdot 6}{4!}=30$$.
Размещениями называют множества, содержащие $$m$$ элементов из $$n$$ заданных, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Определение вероятности события: $$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$n$$ – количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, $$m$$ – количество исходов, благоприятствующих появлению события $$A$$.
Имеем числа: $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$, $$12$$, $$13$$, $$14$$, $$15$$.
Следовательно, количество всевозможных исходов равно $$15$$.
Простыми являются числа: $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$11$$, $$13$$.
Следовательно, благоприятных исходов $$6$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{6}{15}=0,4$$.
Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей. Число $$1$$ не является простым и не является составным.
Вероятность получить слово ТОК, переставляя буквы в слове КОТ, равна:
Число всевозможных перестановок из $$n$$ различных элементов обозначают $$P_n$$ и находят по формуле:
$$P_n=n!$$,где $$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$.Определим, сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове КОТ:
$$3!=1 \cdot 2 \cdot 3=6$$.
Поскольку всевозможных исходов $$6$$, а благоприятствующих появлению слова ТОК (событие $$A$$), один, то $$P(A)=\frac{1}{6}$$.
Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся друг от друга только их порядком.
Подбрасывают два игральных кубика и подсчитывают сумму очков, выпавших на верхних гранях. Вероятность того, что получим число $$5$$ (событие $$A$$), равна:
Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:
$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.В данном опыте события "Сумма чисел равна $$5$$" (событие $$A$$), и "Сумма чисел не равна $$5$$" (событие $$\bar{A}$$) противоположные.
$$P(\bar{A})=\frac{36-4}{36}=\frac{8}{9}$$.
$$P(A)+P(\bar{A})=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$$.