Случайные события и вероятности ИТ
Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ зависимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:
$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B/A) \cdot P(C/AB)$$.В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,
$$P(A_{\delta .})=\frac{5}{12}$$,Тогда, $$P(A_{c.}A_{3.}A_{\delta .})=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{22}$$.
Если события $$A$$ и $$B$$ несовместные, вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:
$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$.Если события $$A$$ и $$B$$ совместные, то вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$$.События $$A$$ (попал первый стрелок) и $$B$$ (попал второй) совместные, так как не исключено, что они оба могут попасть в мишень, следовательно,
$$P(A+B)=0,9+0,7-0,9 \cdot 0,7=0,97$$.Если события $$A_1$$, $$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:
$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$,
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$, $$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.
События $$A_1$$, $$A_2$$ и $$A_3$$ независимые.
Согласно условию задачи вероятности этих событий равны:
$$p_1=0,8$$, $$p_2=0,85$$, $$p_3=0,7$$.
Вероятности противоположных событий равны:
$$q_1=1-0,8=0,2$$,$$q_2=1-0,85=0,15$$,$$q_3=1-0,7=0,3$$.Тогда, $$P(A)=1-0,2 \cdot 0,15 \cdot 0,3=0,991$$.
если $$P(A)=p$$, а $$P(\overline{A})=q$$, то $$P(A)+P(\overline{A})=p+q=1$$.
Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:
$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.Поскольку события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые и
$$P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$, $$P(B)=\frac{5}{12}$$, а $$P(C)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$,то $$P(ABC)=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{144}$$.Событие $$B$$ не зависит от события $$A$$, если $$P(B/A)=P(B)$$.
Аналогично событие $$A$$ не зависит от события $$B$$, если $$P(A/B)=P(A)$$.
В таких случаях говорят, что события $$A$$ и $$B$$ независимые.
Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)$$.
Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался черным,
$$H_1$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров,
$$H_2$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$6$$ белых и $$4$$ черных шаров,
$$H_3$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$8$$ белых и $$8$$ черных шаров.
Тогда: $$P(H_1)=\frac{1}{3}$$, $$P(H_2)=\frac{1}{3}$$ и $$P(H_3)=\frac{1}{3}$$.
Вероятность извлечь черный шар:
из ящика с составом $$H_1$$ равна $$P(A/H_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$,
из ящика с составом $$H_2$$ равна $$P(A/H_2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$,а из ящика с составом $$H_3$$ равна $$P(A/H_3)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$.
По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$,
$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=0,5$$.
Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum ^n_{i=1}P(H_i)P(A/H_i)$$.
Формулы Байеса:
$$P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)}$$,
где $$k=\overline{1,n}$$, $$P(A)$$ - полная вероятность.
Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным,
$$H_1$$, $$H_2$$, и $$H_3$$ – события, состоящие в том, что изделие произведено на первом, на втором и на третьем станке соответственно.Тогда, $$P(H_1)=\frac{500}{500+400+600}=\frac{1}{3}$$,
$$P(H_2)=\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}$$,$$P(H_3)=\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}$$.Согласно условию задачи:
$$P(A/H_1)=0,03$$, $$P(A/H_2)=0,03$$, $$P(A/H_3)=0,01$$.
По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$ ,$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}=\frac{11}{500}$$ .
По формуле Байеса:
$$P(H_1/A)=\frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)}$$ ,
$$P(H_1/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}:\frac{11}{500}=\frac{5}{11}$$.В формулах Байеса события $$H_k$$ называют гипотезами,
$$P(H_k)$$ – априорными вероятностями гипотез,а $$P(H_k/A)$$ – апостериорными вероятностями гипотез.Если события $$A_1$$, $$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:
$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$,
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$, $$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.