Числовые характеристики выборки ИТ
Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:
Если доверительная вероятность составляет $$90$$ %, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
$$s$$ - эмпирический стандарт,
$$t_{\frac{\alpha }{2},n-1}$$ – аргумент функции Стьюдента:
Найдем числовые характеристики выборки:
$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(2+2+9+4+10)=3$$;
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(2+4+27+16+50)=11$$;
$$\overline{D}=11-9=2$$.
Найдем эмпирический стандарт:
$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.
По таблице распределения Стьюдента получим:
$$t_{0, 05, 8}=1, 860$$.
Тогда, $$\delta =\frac{1, 86\cdot1, 5}{3}=0, 93$$.
Доверительный интервал:
$$(3-0, 93; 3+0, 93)$$;
$$(2, 07; 3, 93)$$.
Формулу $$\delta =\frac{t_{\frac{\alpha }{2}, n-1}}{\sqrt{n}}\cdot s$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ неизвестно.
Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:
Точечная оценка математического ожидания равна:
Точечной оценкой математического ожидания $$a$$ генеральной совокупности является выборочная средняя:
$$a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$.
Если случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, то записывают:
$$X \in N(a, \sigma )$$,
где $$a=M(X)$$, $$\sigma=\sqrt{D(X)}$$.
Выборочная дисперсия равна:
Выборочная дисперсия:
$$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,
где $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.
Сравните: $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$ и $$D(X)=M(X^{2})-M^{2}(X)$$.
Среднее значение $$CBX$$ равно:
Выборочное среднее находят по формуле:
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
где $$n$$ – объем выборки.
Чтобы найти середину интервала, необходимо найти полусумму координат его концов.
Дан интервальный вариационный ряд:
|
интервалы |
[–3; 1) |
[1; 5) |
[5; 9) |
[9; 13] |
|
mi |
4 |
3 |
2 |
1 |
Выборочное среднее квадратическое отклонение равно:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
$$\overline{\sigma }=\sqrt{\overline{D}}$$,
где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.
Если выборочная совокупность представлена интервальным вариационным рядом, то, находя числовые характеристики, в качестве значений вариант необходимо взять середины интервалов.
Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:
Если $$\sigma =0,3$$, а $$\gamma =0,95$$, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
где $$\delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$$, $$t_{\alpha }$$ – корень уравнения $$2\Phi (t)=\gamma$$,
$$n$$ – объем выборки,
$$\alpha =1-\gamma$$ – надежность.
Формулу $$\delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ известно.
Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:
Если доверительная вероятность составляет $$99$$ %, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:
Найдем числовые характеристики выборки:
$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(2+2+9+4+10)=3$$;
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(2+4+27+16+50)=11$$;
$$\overline{D}=11-9=2$$.
Найдем эмпирический стандарт:
$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.
По таблице значений $$\chi ^{2}$$-распределения получим:
$$\chi ^{2}_{1}\left ( \frac{1, 99 }{2}; 8 \right )=1, 34$$, откуда $$\chi _{1}=\sqrt{1, 34}$$.
$$\chi ^{2}_{2}\left ( \frac{0, 01}{2}; 8 \right )=21, 96$$, откуда $$\chi _{2}=\sqrt{21, 96}$$.
Доверительный интервал:
$$\frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{21, 96}}< \sigma < \frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{1, 34}}$$;
$$5\sqrt{\frac{2}{61}}< \sigma < 15\sqrt{\frac{1}{67}}$$.
Случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, если ее функция распределения имеет вид:
$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt$$.
Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:
Эмпирический стандарт равен:
Точечной оценкой среднего квадратического отклонения $$\sigma$$ является эмпирический стандарт:
$$s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \overline{D}}$$,
где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.
К точечным оценкам нормально распределенной $$CBX$$ относят выборочную среднюю и эмпирический стандарт.
Коэффициент корреляции равен:
Выборочный коэффициент корреляции находят по формуле:
$$r_{XY}=\frac{\overline{XY}-\overline{X}\cdot\overline{Y}}{\overline{\sigma}_{X}\cdot\overline{\sigma}_{Y}}$$.
Числовые характеристики выборки:
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{x_{i}}$$,
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2}n_{x_{i}}$$,
$$\overline{D}_{X}=\overline{X^{2}}-\left ( \overline{X} \right )^{2}$$,
$$\overline{\sigma }_{X}=\sqrt{\overline{D}_{X}}$$;
$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{y_{j}}$$,
$$\overline{Y^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}^{2}n_{y_{j}}$$,
$$\overline{D}_{Y}=\overline{Y^{2}}-\left ( \overline{Y} \right )^{2}$$, $$\overline{\sigma }_{Y}=\sqrt{\overline{D}_{Y}}$$;
$$\overline{XY}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{xy}$$.
Заполним корреляционную таблицу:
$$\overline{X}=\frac{58}{20}=2,9$$; $$\overline{X}^{2}=\frac{228}{20}=11,4$$;
$$\overline{D}_{X}=11,4-8,41=2,99$$; $$\overline{\sigma }_{X}=\sqrt{2,99}$$;
$$\overline{Y}=\frac{82}{20}=4,1$$; $$\overline{Y}^{2}=\frac{380}{20}=19$$;
$$\overline{D}_{Y}=19-16,81=2,19$$; $$\overline{\sigma }_{Y}=\sqrt{2,19}$$;Статистическую зависимость называют корреляционной, если изменение одной из случайных величин вызывает изменение среднего значения другой.
Коэффициент корреляции показывает тесноту связи между признаками $$X$$ и $$Y$$.
Дан дискретный вариационный ряд:
Среднее значение $$CBX$$ равно:
Выборочное среднее находят по формуле:
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
где $$n$$ – объем выборки.
Сравните:
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$ и $$M(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$$.