Раскрытие неопределенностей ИТ
Число, обратное значению предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-5x^{2}+11x-2}{3x^{2}-x-10}$$, равно:
- Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .
- Формула разложения квадратного трехчлена на множители: $$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,
где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ $$-$$ корни этого трехчлена.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
- Найдем корни квадратного трехчлена $$-5x^{2}+11x-2$$:
$$D=121-40=81$$, $$x_{1}=\frac{-11-9}{-10}=2$$, $$x_{2}=\frac{-9+11}{-10}=\frac{1}{5}$$.
Запишем:
$$-5x^{2}+11x-2=-5\left ( x-2 \right )\left ( x-\frac{1}{5} \right )=\left ( x-2 \right )\left ( -5x+1 \right )$$. - Найдем корни квадратного трехчлена $$3x^{2}-x-10$$:
$$D=1+120=121$$, $$x_{1}=\frac{1-11}{6}=-\frac{5}{3}$$, $$x_{2}=\frac{1+11}{6}=2$$.
Запишем:
$$3x^{2}-x-10=3\left ( x+\frac{5}{3} \right )\left ( x-2 \right )=\left ( 3x+5 \right )\left ( x-2 \right )$$.
Вычислим предел:
$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left (x-2 \right )\left (-5x+1 \right )}{\left (3x+5 \right )\left (x-2 \right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-5x+1}{3x+5}=-\frac{9}{11}$$.
Тогда, $$\left ( -\frac{9}{11} \right )^{-1}=-\frac{11}{9}$$.
Число, обратное числу $$a$$, находят по формуле: $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$.
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+14}-4}{x^{3}-8}$$ равно:
Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .
Если имеем дробно-иррациональную функцию, то предварительно необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное выражению, содержащему радикал.
$$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{\left (x^{2}+2x+4 \right )\left ( \sqrt{x+14}+4 \right )}$$$$=\frac{1}{12\cdot 8}=\frac{1}{96}$$.
Формулы сокращенного умножения:
- разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$;
- суммы (разности) кубов: $$a^{3}\pm b^{3}=\left ( a\pm b \right )\left ( a^{2}\mp ab+b^{2} \right )$$ .
Вертикальные асимптоты (асимптота) графика функции $$y=\frac{3-x}{x^{2}-9}$$ имеют вид:
Уравнение вертикальной асимптоты графика функции $$y=f\left ( x \right )$$ имеет вид $$x=a$$ при условии, что выполняется хотя бы одно из условий:
$$\lim_{x\rightarrow a-0} f\left ( x \right )=\infty$$ , $$\lim_{x\rightarrow a+0} f\left ( x \right )=\infty$$.
- Найдем область определения функции:
$$D \left ( f \right )=R/x\neq \pm 3$$.
- Так как $$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-1}{x+3}=-\frac{1}{6}$$ ,
а $$\lim_{x\rightarrow -3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow -3} \frac{-1}{x+3}=-\infty$$ ,
то $$x=-3$$ $$-$$ вертикальная асимптота.
Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
Вертикальные асимптоты необходимо искать среди точек разрыва функции.
Абсолютная величина предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6-20x^{3}}{4x^{3}+5x-2}$$ равна:
- Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
- Свойство пределов:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{3}$$.
Получим:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{6}{x^{3}}-20}{4+\frac{5}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}=\frac{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x^{3}}-\lim_{x\rightarrow \infty }20}{\lim_{x\rightarrow \infty }4+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5}{x^{2}}-\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x^{3}}}=$$
$$=\frac{0-20}{4+0-0}=-5$$.
Тогда, $$\left | -5 \right |=5$$.
Абсолютная величина числа $$-$$ это модуль этого числа.
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{7x^{2}+4x-3}{2x^{2}+3x+1}$$ равно:
Свойства пределов:
- $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$$;
- $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$$;
- $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (c\cdot f\left ( x \right ) \right )=c\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )$$;
- $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f \left( x \right )\pm g\left ( x \right ) \right )=\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}} g\left ( x \right )$$;
- $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}=$$$$\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left ( x \right )}$$.
$$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{7x^{2}+4x-3}{2x^{2}+3x+1}=$$
$$=\frac{\lim_{x\rightarrow -2} (7x^{2}+4x-3 )}{\lim_{x\rightarrow -2} (2x^{2}+3x+1)}=$$
$$=\frac{\lim_{x\rightarrow -2} 7x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2} 4x-\lim_{x\rightarrow -2} 3}{\lim_{x\rightarrow -2}2x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2}3x+\lim_{x\rightarrow -2}1}$$$$=\frac{28-8-3}{8-6+1}=\frac{17}{3}$$.
Если функция $$y=f\left ( x \right )$$ непрерывна в точке $$a$$, то предел функции равен значению функции в этой точке:
$$\lim_{x\rightarrow a} f\left ( x \right )=f\left ( a \right )$$.
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x+3}{1+\sqrt{4x^{4}-2x}}$$ равно:
1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty}{\infty}$$ необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
2. Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$$;
$$\lim_{x\rightarrow\infty}c=c$$.
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty}(2x+\frac{x}{x^{2}+3})$$ равно:
Так как имеем неопределенность вида $$\infty+\infty$$, то выполним преобразования:
$$2x+\frac{x}{x^{2}+3}=\frac{2x^{3}+6x+x}{x^{2}+3}=\frac{2x^{3}+7x}{x^{2}+3}$$.
Получим неопределенность вида $$\frac{\infty}{\infty}$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{2}$$:
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x+\frac{7}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{\lim_{x\rightarrow\infty}2x+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{7}{x}}{\lim_{x\rightarrow\infty}1+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{x}}=\frac{\infty+0}{1+0}=\infty$$.
Предел функции $$f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x^{_{2}}-4}$$ в точке $$x=2$$ равен:
Неопределенность $$\frac{0}{0}$$ может возникнуть при нахождении предела дробно-рациональных функций $$y=\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$$ при $$x\rightarrow a$$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .
Так как $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-2x}{x^{_{2}}-4} =\frac{4-4}{4-4}=\frac{0}{0}$$ , то необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-2$$.
Для этого разложим числитель и знаменатель дроби на множители и получим: $${\lim_{x\rightarrow 2}}\frac{x\left ( x-2 \right )}{\left ( x-2 \right )\left (x+2 \right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x}{x+2}=\frac{2}{4}=0, 5$$.
Разложить многочлены на множители можно различными способами:
- вынесением общего множителя за скобки;
- способом группировки;
- по формулам сокращенного умножения:
разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$,
квадрата суммы (разности): $$a^{2}\pm 2ab+b^{2}=\left (a \pm b \right )^{2}$$,
суммы (разности) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$;
- по формуле разложения квадратного трехчлена на множители:
$$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,
где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни этого трехчлена;
- делением многочленов уголком.
Наклонная асимптота графика функции $$f(x)=\frac{x^{2}+5x}{x-3}$$ имеет вид:
Уравнение наклонной асимптоты графика функции $$y=f\left ( x \right )$$ имеет вид:
$$y=kx+b$$ ,
где $$k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}$$ , $$b=\lim_{x\rightarrow \infty } \left (f\left ( x \right )-kx \right )$$ .
Найдем $$k$$ и $$b$$:
$$k=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x^{2}+5x}{\left (x-3 \right )x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x+5}{x-3}=$$$$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1$$;
$$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^{2}+5x}{x-3}-x \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+5x-x^{2}+3x}{x-3}=$$
$$=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8}{1-\frac{3}{x}}=8$$.
Наклонная асимптота: $$y=x+8$$.
Если $$k=0$$ , то имеем горизонтальную асимптоту $$y=b$$.
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow -1 }(x^{2}+5x)^{3x+2}$$ равно:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$, где $$a \neq 0$$.