Загрузка

Тождественные преобразования иррациональных выражений

Выражение $$\sqrt[4]{-6xy^3z^4}$$ не лишено смысла при условии, что:

  1. Иррациональными называют выражения, содержащие переменную под знаком радикала (корня).
  2. Выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными, а выражения, записанные под знаками корней нечетной степени, могут быть отрицательными.

Так как $$-6xy^3z^4\geq 0$$ (это выражение записано под знаком корня четной степени), то $$xy^3z^4\leq 0$$, а поскольку $$z^4\geq 0$$, то $$xy^3\leq 0$$ и $$xy\leq 0$$.

  1. Умножая обе части неравенства на отрицательное число, не забывайте заменить смысловой знак неравенства на противоположный по смыслу.
  2. Четное число можно записать в виде $$2n$$, а нечетное число $$-$$ в виде $$2n-1$$, где $$n\in N$$.
  3. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при условии, что $$a\geq 0$$.
Выберите один из вариантов

Выражение $$\frac{(a+b)^{-0,5}}{(a-b)^{-0,2}}$$ не имеет смысла при условии, что:

  1. Определение степеней: $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$$; $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$.
  2. Выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными, а выражения, записанные под знаками корней нечетной степени, могут быть отрицательными.
  1. Запишем данное выражение в виде: $$\frac{(a+b)^{-\frac{1}{2}}}{(a-b)^{-\frac{1}{5}}}=\frac{(a-b)^\frac{1}{5}}{(a+b)^\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[5]{a-b}}{\sqrt{a+b}}$$.
  2. Выражение $$(a-b)$$ любого знака или равно нулю (записано под знаком корня нечетной степени), а выражение $$(a+b)$$ только положительное (записано под знаком корня четной степени и в знаменателе дроби). Следовательно, выражение $$\frac{(a+b)^{-0,5}}{(a-b)^{-0,2}}$$ лишено смысла при $$a+b\leq 0$$ или $$a\leq -b$$.

Десятичную запись показателя степени числа лучше заменить обыкновенной дробью.

Выберите один из вариантов

В результате вынесения множителей из-под знака корня $$\sqrt{8a^2b^4c^3}$$ получим:

При извлечении квадратного корня (корня четной степени) из произведения необходимо учитывать, что корень определен, и в случае, если оба множителя положительны, и в случае, если оба множителя отрицательны:

  1. если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$;
  2. если $$a<0$$ и $$b<0$$, то $$\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{-b}$$.

Так как $$8a^2b^4c^3\geq 0$$, то $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а $$c$$ – неотрицательное число. Тогда: $$\sqrt{8a^2(b^2)^2c^2c}=2\left | a \right |b^2c\sqrt{2c}$$.

Для числа $$a$$ любого знака справедливо равенство: $$\sqrt{a^2}=\left | a \right |$$.

Выберите один из вариантов

В результате внесения множителей под знак корня $$3m^3n^2\sqrt[4]{m^2n^3}$$ при условии, что $$m< 0$$ и $$n> 0$$, получим:

При внесении множителя под знак квадратного корня (в общем случае под знак корня четной степени) необходимо учитывать знак этого множителя:

  1. если $$a>0$$, то $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$;
  2. если $$a<0$$, то $$a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}$$.

Так как $$m^2n^3\geq 0$$ и $$m^2\geq 0$$ для любых значений $$m$$, то $$n\geq 0$$.
Тогда: $$-3\left|m \right|^3n^2\sqrt[4]{m^2n^3}=$$$$-\sqrt[4]{m^2n^3(3m^3n^2)^4}=$$

$$=-\sqrt[4]{81m^2n^3m^{12}n^8}$$$$=-\sqrt[4]{81m^{14}n^{11}}$$.

Поскольку $$m<0$$, то под знак корня четной степени мы внесли абсолютную величину числа $$m$$, а число $$-1$$ мы оставили перед знаком корня.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\frac{y\sqrt{3x^4y}}{\sqrt{12x^2y^3}}$$ получим:

Свойство корня: $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$, где $$2n$$ – четное число.

  1. Так как $$3x^4y\geq 0$$, а $$3x^4\geq 0$$ для любых значений $$x$$, то $$y\geq 0$$.
    Так как $$12x^2y^3> 0$$, а $$12x^2> 0$$, то $$y> 0$$.

    Запишем ОДЗ: $$x\in R$$$$/x\neq 0$$; $$y> 0$$.

  2. Упростим на ОДЗ данное выражение: $$\frac{y\sqrt{3x^4y}}{\sqrt{3\cdot 4x^2y^2y}}=\frac{yx^2\sqrt{3y}}{2\left | x \right |y\sqrt{3y}}=\frac{x^2}{2\left | x \right |}=\frac{\left | x \right |^2}{2\left | x \right |}=\frac{\left | x \right |}{2}=0,5\left | x \right |$$.
  1. Так как число $$x$$ может быть любого знака, то, извлекая из него корень четной степени, мы записали $$\sqrt{x^2}=\left | x \right |$$.
  2. Справедливо равенство: $$a^2=\left | a \right |^2$$.
Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$\frac{2a-\sqrt{a}-1}{4a-1}: (\sqrt{a-1})$$ получим:

  1. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  2. Разложение на множители квадратного трехчлена: $$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни.
  3. Корни квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.
  1. Полагая $$\sqrt{a}=x$$, $$a=x^2$$, запишем: $$\frac{2x^2-x-1}{4x^2-1}:(x-1)$$.
  2. Разложим числитель дроби на множители, предварительно найдя корни многочлена $$2x^2-x-1$$:
    $$D=1+8=9$$, $$x_{1}= \frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$, $$x_{2}= \frac{1+3}{4}=1$$.
    Получим: $$2x^2-x-1=2(x+\frac{1}{2})(x-1)=(2x+1)(x-1)$$.
  3. Разложим знаменатель дроби на множители, применяя формулу разности квадратов: $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$.
  4. Получим: $$\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot \frac{1}{(x-1)}=\frac{1}{2x-1}$$.
  5. Так как $$\sqrt{a}=x$$, то запишем: $$\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{2\sqrt{a}-1}$$.
    Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби: $$\frac{2\sqrt{a}+1}{(2\sqrt{a}-1)(2\sqrt{a}+1)}=\frac{2\sqrt{a}+1}{4a-1}$$.

Применять подстановку вовсе не обязательно. Но в нашем случае подстановка дала возможность представить выражение в более привычном виде и увидеть структуру выражения.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\frac{\sqrt{2x}-y}{\sqrt{2x}+y}-\frac{\sqrt{2x}+y}{\sqrt{2x}-y}$$ получим:

  1. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  2. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

Приведем дроби к общему знаменателю и применим формулы квадрата разности, квадрата суммы и разности квадратов:
$$\frac{(\sqrt{2x}-y)^2-(\sqrt{2x}+y)^2}{(\sqrt{2x}+y)\cdot (\sqrt{2x}-y)}=$$

$$=\frac{2x-2y\sqrt{2x}+y^2-2x-2y\sqrt{2x}-y^2}{2x-y^2}=$$

$$=\frac{-4y\sqrt{2x}}{2x-y^2}=\frac{4y\sqrt{2x}}{y^2-2x}$$.

Различайте выражения: $$\sqrt{x^2}=\left | x \right |$$, где $$x\in R$$, и $$(\sqrt{x})^2=x$$, где $$x\geq 0$$.

Выберите один из вариантов

Результат упрощения выражения $$\frac{a+2\sqrt[6]{a^3b^2}+\sqrt[3]{b^2}}{a^{0,5}+b^\frac{1}{3}}+\frac{a^{1,5}-b}{a+\sqrt[6]{a^3b^2}+\sqrt[3]{b^2}}$$ имеет вид:

  1. Определение степени: $$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$$.
  2. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
  3. Формула суммы (разности) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.
  1. Запишем данное выражение в виде

    $$A=\frac{a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{3}{2}}-b}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$$.
  2. Полагая $$a^\frac{1}{2}=x$$, а $$b^\frac{1}{3}=y$$, получим:

    $$A=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y}+\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$$.
  3. Применим формулы квадрата суммы и разности кубов:

    $$A=\frac{(x+y)^2}{x+y}+\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}=$$

    $$=x+y+x-y=2x$$.
  4. Так как $$a^\frac{1}{2}=x$$, то $$A=2\sqrt{a}$$.

Подстановка не обязательна, но она помогает увидеть структуру выражения.

Выберите один из вариантов

Если $$a=64\cdot 10^{6}$$, то значение выражения $$\frac{a^{2}\sqrt[9]{a\sqrt{a^{-3}}}}{\sqrt[3]{a^{4}\sqrt[3]{a^{4}}}}$$ равно:

  1. Определение степени: $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}.$$
  2. Свойства степеней: $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a};$$ $$(ab)^n=a^nb^n;$$ $$(a^n)^m=a^{nm};$$ $$a^na^m=a^{n+m}$$.
  1. Запишем данное выражение в виде

    $$\frac{a^2a^{\frac{1}{9}}a^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9}}}{a^\frac{4}{3}a^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}}}$$$$=\frac{a^{2+\frac{1}{9}-\frac{1}{6}}}{a^{\frac{4}{3}+\frac{4}{9}}}$$$$=\frac{a^\frac{35}{18}}{a^\frac{16}{9}}$$$$=a^{\frac{35}{18}-\frac{16}{9}}$$$$=a^\frac{1}{6}$$.
  2. Так как $$a=64\cdot 10^6=2^6\cdot 10^6$$, то

    $$a^\frac{1}{6}=(2^6\cdot 10^6)^\frac{1}{6}=2\cdot 10=20$$.

Мы сначала упростили данное нам выражение и только потом нашли его значение.

Введите ответ в поле

Значение выражения $$(\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}})\cdot (\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^{-1}$$
равно:

  1. Определение степени: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$.
  2. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  1. Избавимся от рациональностей в знаменателях дробей:

    >$$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})}$$$$=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+1})^2-(\sqrt{a})^2}=$$

    $$=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{a+1-a}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a},$$

    $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{(\sqrt{a}-\sqrt{a-1})(\sqrt{a}+\sqrt{a-1})}$$$$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{a-1})^2}=$$

    $$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{a-a+1}=\sqrt{a}+\sqrt{a-1}$$.
  2. Получим:

    $$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}$$$$=\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=1$$.

Поскольку выражения $$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$$ не сопряженные, то мы не приводили дроби к общему знаменателю, а предварительно избавились от иррациональностей в знаменателях дробей.

Введите ответ в поле