Загрузка

Тождественные преобразования рациональных выражений

Если $$xy=-2$$, а $$x+y=1$$, то значение выражения $$x^6+y^6$$ равно:

  1. Формула суммы (разности) кубов:

    $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.

  2. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

  1. Преобразуем выражение

    $$A=x^6+y^6$$.
    Применим формулу суммы кубов:
    $$(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$$.
    Дополним выражение $$B=x^4-x^2y^2+y^4$$ до квадрата суммы:

    $$B=x^4-x^2y^2+y^4+2x^2y^2-2x^2y^2$$,

    $$B=(x^4+2x^2y^2+y^4)-3x^2y^2$$, 

    $$B=(x^2+y^2)^2-3(xy)^2$$.

  2. Возведем обе части равенства $$x+y=1$$ в квадрат:
    $$x^2+2xy+y^2=1$$.
    Учитывая, что $$xy=-2$$, запишем:
    $$x^2-4+y^2=1$$, $$ x^2+y^2=5$$.
  3. Получим:
    $$A=(x^2+y^2)((x^2+y^2)^2-3(xy)^2)$$,

    $$A=5\cdot (25-12)=5\cdot 13=65$$.

Дополняя выражение $$(x^4-x^2y^2+y^4)$$ до квадрата суммы, мы одновременно прибавили и вычли выражение $$2x^2y^2$$.

Введите ответ в поле

Если $$a=64\cdot 10^{6}$$, то значение выражения $$\frac{a^{2}\sqrt[9]{a\sqrt{a^{-3}}}}{\sqrt[3]{a^{4}\sqrt[3]{a^{4}}}}$$ равно:

  1. Определение степени:

    $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}.$$

  2. Свойства степеней:

    $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a};$$

    $$(ab)^n=a^nb^n;$$

    $$(a^n)^m=a^{nm};$$

    $$a^na^m=a^{n+m}$$.

1. Запишем данное выражение в виде 

$$A=\frac{a^2a^{\frac{1}{9}}a^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9}}}{a^\frac{4}{3}a^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}}}$$,
$$A=\frac{a^{2+\frac{1}{9}-\frac{1}{6}}}{a^{\frac{4}{3}+\frac{4}{9}}}=\frac{a^\frac{35}{18}}{a^\frac{16}{9}}$$,
$$A=a^{\frac{35}{18}-\frac{16}{9}}=a^\frac{1}{6}$$.
2. Так как $$a=64\cdot 10^6=2^6\cdot 10^6$$, то

$$a^\frac{1}{6}=(2^6\cdot 10^6)^\frac{1}{6}=2\cdot 10=20$$.

Мы сначала упростили данное нам выражение и только потом нашли его значение.

Введите ответ в поле

Если $$A=\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$$, $$B=\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}$$, $$C=\frac{1}{(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})}$$, то значение выражения $$(A+B)\cdot C$$ равно:

  1. Определение степени:

    $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$.

  2. Формула разности квадратов:

    $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

  1. Избавимся от рациональностей в знаменателях дробей:

    1) $$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})}$$, $$A=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+1})^2-(\sqrt{a})^2}$$,

    $$A=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{a+1-a}$$, $$A=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$$;

    2) $$B=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{(\sqrt{a}-\sqrt{a-1})(\sqrt{a}+\sqrt{a-1})}$$, $$B=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{a-1})^2}$$,

    $$B=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}{a-a+1}$$, $$B=\sqrt{a}+\sqrt{a-1}$$.
  2. Получим: 

    $$(A+B)\cdot C=\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=1$$.

Поскольку выражения $$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$$ не сопряженные, то мы не приводили дроби к общему знаменателю, а предварительно избавились от иррациональностей в знаменателях дробей.

Введите ответ в поле

В результате упрощения выражения $$\frac{3a^2+1-4a}{9a-4-5a^2}$$ получим:

  1. Квадратный трехчлен  $$f(x)=ax^2+bx+c$$ можно разложить на линейные множители по формуле:
    $$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$,
    где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – корни квадратного трехчлена.
  2. Корни квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ находят по формулам:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,

    где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.

1. Разложим на множители числитель дроби, решая уравнение $$3a^2-4a+1=0$$:
$$D=16-12=4=2^2$$;
$$a_{1}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$$; $$a_{2}=\frac{4+2}{6}=1$$.
Запишем:

$$A=3(a-\frac{1}{3})(a-1)$$, $$A=(3a-1)(a-1)$$.

2. Разложим на множители знаменатель дроби :
$$B=-(5a^2-9a+4)$$:
$$D=81-80=1$$;
$$a_{1}=\frac{9-1}{10}=\frac{4}{5}$$; $$a_{2}=\frac{9+1}{10}=1$$.
Запишем:

$$B=-5(a-\frac{4}{5})(a-1)$$, $$B=-(5a-4)(a-1)$$.

3. Запишем и сократим дробь:

$$C=-\frac{(3a-1)(a-1)}{(5a-4)(a-1)}$$,

$$C=-\frac{(3a-1)}{(5a-4)}=\frac{1-3a}{5a-4}$$.

Ответ можно записать и иначе: 

$$-\frac{(3a-1)}{(5a-4)}=\frac{3a-1}{4-5a}$$.

Выберите один из вариантов

В результате сокращения дроби $$\frac{5xy+x^2y-10-2x}{2-xy}$$ получим:

Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а, после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.

  1. Разложим числитель дроби на множители способом группировки:

    $$A=(5xy+x^2y)+(-10-2x)$$,

    $$A=xy(5+x)-2(5+x)$$,

    $$A=(5+x)(xy-2)$$.

  2. Сократим дробь:

    $$B=\frac{(5+x)(xy-2)}{2-xy}$$,

    $$B=-\frac{(5+x)(2-xy)}{2-xy}$$,

    $$B=-(5+x)=-5-x$$.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, необходимо скобки опустить и поменять знаки всех одночленов, записанных в скобках, на противоположные.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения дроби $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ получим:

Формула квадрата суммы (разности): 

$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

1. Применим формулы квадрата разности и суммы и приведем подобные слагаемые:
$$A=\frac{\left ( 9a^{2}-42a+49 \right )+\left (9a^{2}+42a+49 \right )}{\left ( 9a^{2}-42a+49 \right )-\left (9a^{2}+42a+49 \right )}$$,

$$A=\frac{9a^2-42a+49+9a^2+42a+49}{9a^2-42a+49-9a^2-42a-49}$$,

$$A=\frac{2\cdot 9a^2+2\cdot 49}{-2\cdot 42a}$$.
2. Сократим дробь на $$2$$:
$$A=\frac{9a^2+49}{-42a}$$,
$$A=-\frac{9a^2+49}{42a}$$.

Сократить дробь $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ нельзя, так как в ее числителе и знаменателе имеются общие слагаемые, а не множители.

Выберите один из вариантов

Разложение многочлена $$a^2-2ab+a^2-4b^2$$ на множители имеет вид:

  1. Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а, после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.
  2. Формула разности квадратов:

    $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

  1. Сгруппируем слагаемые:

    $$(a^2-2ab)+(a^2-4b^2)$$.

  2. Из первых скобок вынесем общий множитель, а ко вторым скобкам применим формулу разности квадратов:

    $$a(a-2b)+(a-2b)(a+2b)$$.

  3. Вынесем общий множитель, и  приведем подобные слагаемые:

    $$(a-2b)(a+a+2b)=(a-2b)(2a+2b)$$.

  4. Вынесем общий множитель $$2$$ и получим:

    $$2(a-2b)(a+b)$$.

Чтобы вынести за скобки общий множитель, необходимо каждое слагаемое алгебраической суммы разделить на этот множитель.

Выберите один из вариантов

Результат упрощения выражения $$\frac{2x^{-1}}{2^{-1}}:\frac{2+x^{-1}}{x+2^{-1}}$$ имеет вид:

Определение степени: 

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$.

  1. Согласно определению степени с отрицательным показателем, преобразуем первую дробь: $$A=\frac{2\cdot 2}{x}=\frac{4}{x}$$.
  2. Преобразуем вторую дробь:
    $$B=\frac{2+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{2x(2+\frac{1}{x})}{2x(x+\frac{1}{2})}$$, $$B=\frac{2(2x+1)}{x(2x+1)}=\frac{2}{x}$$.
  3. Выполним деление дробей:

    $$\frac{4}{x}:\frac{2}{x}=\frac{4x}{2x}=2$$.

  1. Различайте записи:
    $$(2x)^{-1}=\frac{1}{2x}$$ и $$2x^{-1}=\frac{2}{x}$$.
  2. Справедливо равенство:

    $$\frac{a^{-n}}{b^{-m}}=\frac{b^m}{a^n}$$.

Выберите один из вариантов

В результате сокращения дроби $$\frac{(9-x^2)^2+(2x-6)^3}{x^2-4x+3}$$ получим:

  1. Формула разности квадратов:

    $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

  2. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

  3. Свойство степеней:

    $$(ab)^n=a^nb^n$$.

  4. Квадратный трехчлен $$f(x)=ax^2+bx+c$$ можно разложить на линейные множители по формуле

     $$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$,

    где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – корни квадратного трехчлена.

  5. Корни квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ находят по формулам:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,

    где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.

1. Преобразуем числитель дроби:

1) разложим выражения, записанные в скобках, на множители: 

$$A=((3-x)(3+x))^2+(-2(3-x))^3$$,

$$A=(3-x)^2(3+x)^2-2^3(3-x)^3$$;

2) вынесем общий множитель: 

$$A=(3-x)^2((3+x)^2-8(3-x))$$;

3) выполним преобразования в скобках: 

$$A=(3-x)^2(9+6x+x^2-24+8x)$$,

$$A=(3-x)^2(x^2+14x-15)$$;

4) разложим многочлен $$x^2+14x-15$$ на множители, найдя предварительно его корни:

$$D=14^2+4\cdot 15=16^2$$;

$$x_{1}=\frac{-14-16}{2}=-15$$, 

$$x_{2}=\frac{-14+16}{2}=1$$.

Запишем числитель дроби: 

$$A=(3-x)^2(x+15)(x-1)$$.

2. Разложим на множители знаменатель дроби $$B=x^2-4x+3$$.
Так как $$D=16-12=4=2^2$$,
$$x_{1}=\frac{4-2}{2}=1$$, $$x_{2}=\frac{4+2}{2}=3$$, то 

$$B=(x-1)(x-3)$$.

Запишем и сократим дробь:
$$C=\frac{(3-x)^2(x+15)(x-1)}{(x-3)(x-1)}$$, $$C=\frac{(x-3)^2(x+15)}{(x-3)}$$, $$C=(x-3)(x+15)$$.

  1. Корни уравнения $$x^2+14x-15=0$$ можно найти находятся с помощью теоремы Виета.

    Так как $$x_{1}+x_{2}=-14$$, а $$x_{1}x_{2}=-15$$, то $$x_{1}=-15$$, а $$x_{2}=1$$.

    Аналогично для уравнения $$x^2-4x+3=0$$ запишем $$x_{1}+x_{2}=4$$, а $$x_{1}x_{2}=3$$ и получим $$x_{1}=1$$ , а $$x_{2}=3$$.

  2. Запомните, что у выражения, записанного в четной степени, можно менять знак.

    Например:

     $$(a+b)^2=(-a-b)^2$$;

    $$(a-b+c)^4=(-a+b-c)^4$$.

  3. Чтобы вынести общий множитель многочлена, возведенного в некоторую степень, необходимо этот множитель возвести в ту же степень, в которую возведен многочлен.

Выберите один из вариантов

Остаток от деления многочленов $$x^3+8x^2+13x-7$$ и $$x^2+5x-2$$ равен:

Деление многочленов выполняется аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор, пока не получат остаток $$0$$ или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

Выполним уголком деление многочленов:

Правильно вычитайте многочлены. Так, например, остаток получен так: 

$$-7-(-6)=-7+6=-1$$.

Введите ответ в поле