Загрузка

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общее решение уравнения $$y''=12x-10$$ имеет вид:

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение $$f(x;y;y';y'')=0$$.

Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.

Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:

$$\frac{dy'}{dx}=12x-10x$$,

$$dy'=(12x-10)dx$$.

Проинтегрируем его:

$$\int dy'=\int (12x-10)dx$$,

$$y'=6x^2-10x+C_1$$.

Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде

$$dy=(6x^2-10x+C_1)dx$$

и проинтегрируем его:

$$\int dy=\int (6x^2-10x+C_1)dx$$,

$$y=2x^3-5x^2+C_1x+C_2$$.

$$\int kdx=k\int dx=kx+C$$,

$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$2xy''=y'$$ имеет вид:

Уравнение вида $$y''=f(x;y')$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.

Пусть $$y'=t$$ , тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.

Уравнение примет вид:

$$\frac{2xdt}{dx}=t$$ или $$2xdt=tdx$$.

Разделим переменные и проинтегрируем его:

$$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x}$$,

$$\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}$$ ,

$$lnt=\frac{1}{2}lnx+lnC_1$$,

$$lnt=lnx^{0,5}+lnC_1$$,

$$lnt=lnC_1x^{0,5}$$,

$$t=C_1x^{0,5}$$.

Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:

$$dy=C_1x^{0,5}dx$$, $$\int dy=C_1\int x^{0,5}dx$$,

$$y=\frac{2C_1}{3}x^{1,5}+C_2$$.

Общее решение уравнения $$f(x;y;y';y'')=0$$ имеет вид:

$$y=\phi (x;C_1;C_2)$$ или $$\Phi (x;y;C_1;C_2)=0$$.

Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$y''-8y'+7y=0$$ имеет вид:

Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

$$y''+py'+qy=0$$.

Чтобы решить это уравнение необходимо:

  1. составить и решить характеристическое уравнение

    $$k^2+pk+q=0$$;
  2. если $$k_1\neq k_2\in R$$, то общее решение уравнения записать в виде:

    $$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$.

Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение:

$$k^2-8k+7=0$$, откуда $$k_1=1$$, $$k_2=7$$.

Запишем общее решение данного уравнения:

$$y=C_1e^x+C_2e^{7x}$$.

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D>0$$ имеет два различных действительных корня.

Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$y''-8y'+16y=0$$ имеет вид:

Если $$k_1=k_2\in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

$$y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx}$$,

где $$k$$ двукратный корень характеристического уравнения $$k^2+pk+q=0$$.

Составим характеристическое уравнение:

$$k^2-8k+16=0$$, откуда $$k_1=k_2=4$$.

Запишем общее решение данного уравнения:

$$y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}$$.

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D=0$$ имеет двукратный действительный корень.

Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$y''-5y'+7y=0$$ имеет вид:

Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

$$y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)$$,

где $$k_1$$ и $$k_2$$ корни характеристического уравнения $$k^2+pk+q=0$$.

Составим характеристическое уравнение:

$$k^2-5k+7=0$$,

откуда $$D=25-28=-3=3i^2$$,

$$k_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{3i^2}}{2}=\frac{5\pm i\sqrt{3}}{2}=2,5\pm 0,5\sqrt{3}i$$.

Тогда: $$a=2,5$$; $$b=0,5\sqrt{3}$$ .

Запишем общее решение данного уравнения:

$$y=e^{2,5x}(C_1cos0,5\sqrt{3}x+C_2sin0,5\sqrt{3}x)$$.

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D<0$$ действительных корней не имеет, но имеет комплексные корни.

Число, квадрат которого равен $$-1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей: $$i^2=-1$$.

Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.

При этом число $$a$$ называют действительной частью комплексного числа, число $$b$$ – его мнимой частью.

Выражение $$a\pm bi$$ называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Множество всех комплексных чисел обозначают $$C$$.

Это множество содержит множество всех действительных чисел: $$R\subset C$$.

Выберите один из вариантов

Решение задачи Коши для уравнения $$y''+6y'=0$$ при $$y(0)=1$$ , $$y'(0)=6$$ имеет вид:

Если $$k_1\neq k_2\in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

$$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$,

где $$k_1$$ и $$k_2$$ корни характеристического уравнения $$k^2+pk+q=0$$.

Составим характеристическое уравнение:

$$k^2+6k=0$$, откуда $$k_1=0$$, $$k_2=-6$$.

Запишем общее решение данного уравнения:

$$y=C_1e^{0}+C_2e^{-6x}$$ или $$y=C_1+C_2e^{-6x}$$.

Найдем частное решение данного уравнения.

Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:

$$1=C_1+C_2e^0$$,

$$C_1+C_2=1$$.

Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:

$$y'=-6C_2e^{-6x}$$.

Подставляя значения $$x=0$$ и $$y'=6$$ в это равенство, получим:

$$6=-6C_2$$, откуда $$C_2=-1$$.

А так как $$C_1+C_2=1$$, то $$C_1=2$$.

Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:

$$y=2-e^{-6x}$$.

Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_1)=y_1$$ и $$y'(x_2)=y_2$$.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$y''+4y'-5y=14e^{2x}$$ имеет вид:

Чтобы найти общее решение уравнения $$y''+py'+qy=f(x)$$, необходимо:

  1. найти общее решение $$y_0$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y''+py'+qy=0$$;
  2. найти частное решение уравнения $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами;
  3. найти общее решение уравнения $$y=y_0+\tilde{y}_k$$.
Чтобы найти частное решение $$\tilde{y_k}$$ с определенными коэффициентами, необходимо:
  1. найти выражения $$\tilde{y}'$$ и $$\tilde{y}''$$;
  2. подставить значения $$\tilde{y}$$, $$\tilde{y}'$$ и $$\tilde{y}''$$ в уравнение $$y''+py'+qy=f(x)$$ и найти значения неопределенных коэффициентов;
  3. записать решение $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами.
Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m\neq k_1 \neq k_2$$, то $$\tilde{y}=Ae^{mx}$$, где $$A$$ – неопределенный коэффициент.

  1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

    $$y''+4y'-5y=0$$.
    Так как

    $$k^2+4k-5=0$$, то $$k_1=-5$$, $$k_2=1$$ и

    $$y_0=C_1e^{-5x}+C_2e^x$$.
  2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
  3. Так как $$f(x)=14e^{2x}$$ и $$k \neq 2$$, то $$\tilde{y}=Ae^{2x}$$,

    откуда $$\tilde{y}'=2Ae^{2x}$$, $$\tilde{y}''=4Ae^{2x}$$.
    Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y'-5y=14e^{2x}$$, получим:

    $$4Ae^{2x}+8Ae^{2x}-5Ae^{2x}=14e^{2x}$$,

    $$7Ae^{2x}=14e^{3x}$$, $$A=2$$.

    Запишем: $$\tilde{y}_k=2e^{2x}$$.
  4. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:

    $$y=y_0+\tilde{y}_k$$,

    $$y=C_1e^{-5x}+C_2e^x+2e^{2x}$$.

$$(e^{kx})'=ke^{kx}$$

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$y''-5y'+4y=3e^x$$ имеет вид:

Чтобы найти общее решение уравнения $$y''+py'+qy=f(x)$$, необходимо:

  1. найти общее решение $$y_0$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y''+py'+qy=0$$;
  2. найти частное решение уравнения $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами;
  3. найти общее решение уравнения $$y=y_0+\tilde{y}_k$$.

    Если
    $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_1$$, то

    $$\tilde{y}=Axe^{mx}$$, где $$A$$ – неопределенный коэффициент.

  1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

    $$y''-5y'+4y=0$$.
    Так как $$k^2-5k+4=0$$, то $$k_1=1$$, $$k_2=4$$ и

    $$y_0=C_1e^x+C_2e^{4x}$$.
  2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
    Так как $$f(x)=3e^x$$ и $$k=m=1$$, то

    $$\tilde{y}=Axe^x$$,

    $$\tilde{y}'=Ae^x+Axe^x$$,

    $$\tilde{y}''=Ae^x+Ae^x+Axe^x=2Ae^x+Axe^x$$.

    Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'+4y=3e^x$$, получим:

    $$2Ae^x+Axe^x-5Ae^x-5Axe^x+4xe^x=3e^x$$,

    $$2A+Ax-5A-5Ax+4Ax=3$$, $$-3A=3$$, $$A=-1$$.

    Запишем: $$\tilde{y}_k=-e^x$$.
  3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:

    $$y=y_0+\tilde{y}_k$$,

    $$y=C_1e^x+C_2e^{4x}-e^x$$.

$$(uv)'=u'v+uv'$$,

$$(e^x)'=e^x$$,

$$x'=1$$.

Выберите один из вариантов

Решением уравнения $$y''+2y'-3y=5x^2+2x-3$$ является семейство интегральных кривых:

Если $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q \neq 0$$, то $$\tilde{y}=Q_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.

  1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+2y'-3y=0$$.
    Так как $$k^2+2k-3=0$$, то $$k_1=1$$, $$k_2=-3$$ и

    $$y_0=C_1e^x+C_2e^{-3x}$$.
  2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.

    Так как $$f(x)=P_2(x)=5x^2+2x-3$$ и $$q \neq 0$$, то

    $$\tilde{y}=Ax^2+Bx+C$$,

    $$\tilde{y}'=2Ax+B$$, $$\tilde{y}''=2A$$.
    Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+2y'-3y=5x^2+2x-3$$, получим:

    $$2A+4Ax+2B-3Ax^2-3Bx-3C=5x^2+2x-3$$.
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:

    $$-3A=5$$, $$4A-3B=2$$ и $$2A+2B-3C=-3$$,

    откуда $$A=-\frac{5}{3}$$, $$B=-\frac{26}{9}$$ и $$C=-\frac{55}{27}$$.
    Получим: $$\tilde{y}_k=-\frac{5}{3}x^2-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.

  3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:

    $$y=C_1e^x+C_2e^{-3x}-\frac{5}{3}x^2-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.

Если $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q=0$$ , $$p \neq 0$$, то $$\tilde{y}=xQ_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Выберите один из вариантов

Решением уравнения $$y''+4y=cos2x$$ является семейство интегральных кривых:

  1. Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

    $$y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)$$, где

    $$k_1$$ и $$k_2$$ корни характеристического уравнения $$k^2+pk+q=0$$.
  2. Если $$f(x)=asinmx+bcosmx$$ и $$p=0$$, $$q=m^2$$, то

    $$\tilde{y}=x(Asinmx+Bcosmx)$$,

    где $$A$$ и $$B$$ – неопределенные коэффициенты.

  1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y=0$$.
    Так как $$k^2+4=0$$ , то $$k^2=-4$$, $$k_{1,2}=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{4i^2}=\pm 2i$$, $$a=0$$, $$b=2$$ .
    Тогда, $$y_0=e^0(C_1cos2x+C_2sin2x)$$ или $$y_0=C_1cos2x+C_2sin2x$$.
  2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
    Так как $$f(x)=cos2x+0sin2x$$ и $$q=4=m^2$$, то

    $$\tilde{y}=Axcos2x+Bxsin2x$$,

    $$\tilde{y}'=Acos2x-2Axsin2x+Bsin2x+2Bxcos2x$$,

    $$\tilde{y}'=(A+2Bx)cos2x+(-2Ax+B)sin2x$$,

    $$\tilde{y}''=2Bcos2x+(-2A-4Bx)sin2x+$$

    $$+(-2A)sin2x+(-4Ax+2B)cos2x$$

    $$\tilde{y}''=(-4A-4Bx)sin2x+(-4Ax+4B)cos2x$$.

    Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y=cos2x$$, получим:

    $$(-4A-4Bx)sin2x+(-4Ax+4B)cos2x+4Axcos2x+4Bxsin2x$$ $$=cos2x$$,

    $$(-4A)sin2x+(4B)cos2x=cos2x$$, откуда

    $$-4A=0$$, а $$4B=1$$.

    Тогда, $$A=0$$, а $$B=0,25$$.
    Запишем: $$\tilde{y}_k=0,25xsin2x$$.
  3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:

    $$y=C_1cos2x+C_2sin2x+0,25xsin2x$$.

$$(uv)'=u'v+uv'$$,

$$(coskx)'=-ksinkx$$,

$$(sinkx)'=kcoskx$$.

Выберите один из вариантов