Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение $$f(x;y;y';y'')=0$$.

Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.

Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:

Проинтегрируем его:

Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде

$$\int kdx=k\int dx=kx+C$$,

Уравнение вида $$y''=f(x;y')$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.

Пусть $$y'=t$$ , тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.

Уравнение примет вид:

Разделим переменные и проинтегрируем его:

$$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x}$$,

Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:

Общее решение уравнения $$f(x;y;y';y'')=0$$ имеет вид:

Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Чтобы решить это уравнение необходимо:

1. составить и решить характеристическое уравнение
   $$k^2+pk+q=0$$;
2. если $$k_1\neq k_2\in R$$, то общее решение уравнения записать в виде:
   $$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$.

Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение:

Запишем общее решение данного уравнения:

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D>0$$ имеет два различных действительных корня.

Если $$k_1=k_2\in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Запишем общее решение данного уравнения:

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D=0$$ имеет двукратный действительный корень.

Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Запишем общее решение данного уравнения:

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D<0$$ действительных корней не имеет, но имеет комплексные корни.

Число, квадрат которого равен $$-1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей: $$i^2=-1$$.

Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.

При этом число $$a$$ называют действительной частью комплексного числа, число $$b$$ – его мнимой частью.

Выражение $$a\pm bi$$ называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Множество всех комплексных чисел обозначают $$C$$.

Это множество содержит множество всех действительных чисел: $$R\subset C$$.

Если $$k_1\neq k_2\in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Запишем общее решение данного уравнения:

Найдем частное решение данного уравнения.

Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:

Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:

Подставляя значения $$x=0$$ и $$y'=6$$ в это равенство, получим:

Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:

Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_1)=y_1$$ и $$y'(x_2)=y_2$$.

Чтобы найти общее решение уравнения $$y''+py'+qy=f(x)$$, необходимо:

1. найти общее решение $$y_0$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y''+py'+qy=0$$;
2. найти частное решение уравнения $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами;
3. найти общее решение уравнения $$y=y_0+\tilde{y}_k$$.

1. найти выражения $$\tilde{y}'$$ и $$\tilde{y}''$$;
2. подставить значения $$\tilde{y}$$, $$\tilde{y}'$$ и $$\tilde{y}''$$ в уравнение $$y''+py'+qy=f(x)$$ и найти значения неопределенных коэффициентов;
3. записать решение $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
   $$y''+4y'-5y=0$$.
   Так как
   $$k^2+4k-5=0$$, то $$k_1=-5$$, $$k_2=1$$ и
   $$y_0=C_1e^{-5x}+C_2e^x$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=14e^{2x}$$ и $$k \neq 2$$, то $$\tilde{y}=Ae^{2x}$$,
откуда $$\tilde{y}'=2Ae^{2x}$$, $$\tilde{y}''=4Ae^{2x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y'-5y=14e^{2x}$$, получим:
$$4Ae^{2x}+8Ae^{2x}-5Ae^{2x}=14e^{2x}$$,
$$7Ae^{2x}=14e^{3x}$$, $$A=2$$.
Запишем: $$\tilde{y}_k=2e^{2x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
   $$y=y_0+\tilde{y}_k$$,
   $$y=C_1e^{-5x}+C_2e^x+2e^{2x}$$.

$$(e^{kx})'=ke^{kx}$$

Чтобы найти общее решение уравнения $$y''+py'+qy=f(x)$$, необходимо:

1. найти общее решение $$y_0$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y''+py'+qy=0$$;
2. найти частное решение уравнения $$\tilde{y}_k$$ с определенными коэффициентами;
3. найти общее решение уравнения $$y=y_0+\tilde{y}_k$$.
   Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_1$$, то
   $$\tilde{y}=Axe^{mx}$$, где $$A$$ – неопределенный коэффициент.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
   $$y''-5y'+4y=0$$.
   Так как $$k^2-5k+4=0$$, то $$k_1=1$$, $$k_2=4$$ и
   $$y_0=C_1e^x+C_2e^{4x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
   Так как $$f(x)=3e^x$$ и $$k=m=1$$, то
   $$\tilde{y}=Axe^x$$,
   $$\tilde{y}'=Ae^x+Axe^x$$,
   $$\tilde{y}''=Ae^x+Ae^x+Axe^x=2Ae^x+Axe^x$$.
   Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'+4y=3e^x$$, получим:
   $$2Ae^x+Axe^x-5Ae^x-5Axe^x+4xe^x=3e^x$$,
   $$2A+Ax-5A-5Ax+4Ax=3$$, $$-3A=3$$, $$A=-1$$.
   Запишем: $$\tilde{y}_k=-e^x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
   $$y=y_0+\tilde{y}_k$$,
   $$y=C_1e^x+C_2e^{4x}-e^x$$.

$$(uv)'=u'v+uv'$$,

Если $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q \neq 0$$, то $$\tilde{y}=Q_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+2y'-3y=0$$.
   Так как $$k^2+2k-3=0$$, то $$k_1=1$$, $$k_2=-3$$ и
   $$y_0=C_1e^x+C_2e^{-3x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
   Так как $$f(x)=P_2(x)=5x^2+2x-3$$ и $$q \neq 0$$, то
   $$\tilde{y}=Ax^2+Bx+C$$,
   $$\tilde{y}'=2Ax+B$$, $$\tilde{y}''=2A$$.
   Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+2y'-3y=5x^2+2x-3$$, получим:
   $$2A+4Ax+2B-3Ax^2-3Bx-3C=5x^2+2x-3$$.
   Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
   $$-3A=5$$, $$4A-3B=2$$ и $$2A+2B-3C=-3$$,
   откуда $$A=-\frac{5}{3}$$, $$B=-\frac{26}{9}$$ и $$C=-\frac{55}{27}$$.
   Получим: $$\tilde{y}_k=-\frac{5}{3}x^2-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.

3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
   $$y=C_1e^x+C_2e^{-3x}-\frac{5}{3}x^2-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.

Если $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q=0$$ , $$p \neq 0$$, то $$\tilde{y}=xQ_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.

1. Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
   $$y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)$$, где
   $$k_1$$ и $$k_2$$ корни характеристического уравнения $$k^2+pk+q=0$$.
2. Если $$f(x)=asinmx+bcosmx$$ и $$p=0$$, $$q=m^2$$, то
   $$\tilde{y}=x(Asinmx+Bcosmx)$$,
   где $$A$$ и $$B$$ – неопределенные коэффициенты.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y=0$$.
   Так как $$k^2+4=0$$ , то $$k^2=-4$$, $$k_{1,2}=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{4i^2}=\pm 2i$$, $$a=0$$, $$b=2$$ .
   Тогда, $$y_0=e^0(C_1cos2x+C_2sin2x)$$ или $$y_0=C_1cos2x+C_2sin2x$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
   Так как $$f(x)=cos2x+0sin2x$$ и $$q=4=m^2$$, то
   $$\tilde{y}=Axcos2x+Bxsin2x$$,
   $$\tilde{y}'=Acos2x-2Axsin2x+Bsin2x+2Bxcos2x$$,
   $$\tilde{y}'=(A+2Bx)cos2x+(-2Ax+B)sin2x$$,
   $$\tilde{y}''=2Bcos2x+(-2A-4Bx)sin2x+$$
   $$+(-2A)sin2x+(-4Ax+2B)cos2x$$
   $$\tilde{y}''=(-4A-4Bx)sin2x+(-4Ax+4B)cos2x$$.
   Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y=cos2x$$, получим:
   $$(-4A-4Bx)sin2x+(-4Ax+4B)cos2x+4Axcos2x+4Bxsin2x$$ $$=cos2x$$,
   $$(-4A)sin2x+(4B)cos2x=cos2x$$, откуда
   $$-4A=0$$, а $$4B=1$$.
   Тогда, $$A=0$$, а $$B=0,25$$.
   Запишем: $$\tilde{y}_k=0,25xsin2x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
   $$y=C_1cos2x+C_2sin2x+0,25xsin2x$$.

$$(uv)'=u'v+uv'$$,